UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

MODELOS DE TRANSPORTE PARA LA OPTIMIZACIÓN
DE MOVIMIENTOS DE TIERRAS EN CARRETERAS DE

BAJO VOLUMEN DE TRÁNSITO

T E S I S
Para optar el T́ıtulo Profesional de Ingeniero Civil

Elaborado por:

Bach. Lucio Quispe Sulca

Asesor:

Ing.Cristian Castro Pérez

AYACUCHO - PERÚ

2017



Dedicatoria

A Dios por la historia de mi vida.

A la memoria de mis Padres Moisés y Maŕıa.

A la memoria de mi esposa Julia Constanza.

A mis hijos Moisés y Milenka.

A mis hermanos y hermanas.

i



Agradecimientos

Deseo expresar mi mayor agradecimiento y admiración a mi asesor de tesis, Ing. Cristian
Castro P., profesor ordinario del Departamento Académico de Ingeneiŕıa de Minas y Civil de
la UNSCH, por compartir su forma de entender la enseñanza y la investigación. Fue quien
me animó a realizar la tesis de antegrado para la obtención del t́ıtulo profesional de ingeniero
civil y que con su colaboración, asesoramiento y apoyo me ha acompañado, ayudado y
dirigido a lo largo de todo el proceso, siendo una continua fuente de motivación. Me siento
orgulloso de haber tenido un magńıfico asesor, que más que un docente es un amigo, al que
admiro como persona y al que tengo como ejemplo de dedicación a la investigación.

A la Facultad de Ingenieŕıa de Minas, Geoloǵıa y Civil de la UNSCH por haber puesto a
nuestra disposición todos los medios con los que cuenta y los que fueron necesitados, en
especial al MSc. Ing. José E. Estrada Cárdenas, miembro de la Comisión Revisora del Plan
de Tesis, por sus valiosos aportes y sugerencias que definieron los alcances y mejoraron la
investigación realizada.

Al Ing. Manuel Loyola Guerra, Ing. Juvenal Barrientos Echegoyen, docentes de la Escuela de
Formación Profesional de Ingenieŕıa Civil de la Facultad de Ingenieŕıa de Minas, Geoloǵıa y
Civil de la UNSCH, que fueron excelentes docentes de antegrado y motivaron la investigación
en ingenieŕıa de carreteras, además de proporcionarme información y contestar a todas las
preguntas e inquietudes formuladas.

A mis compañeros y amigos de la E.F.P. de Ingenieŕıa Civil de la Facultad de Ingenieŕıa de
Minas, Geoloǵıa y Civil de la Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga. Este
trabajo, aśı como cualquier logro académico que pueda alcanzar en el futuro, son directa
consecuencia de la visión y la educación recibida en la Universidad Nacional de San Cristóbal
de Huamanga, aśı como también del apoyo, comprensión y la motivación permanente de mis
amigos.

A mis hermanos, hermanas e hijos, que han sabido siempre perdonar el tiempo de dedicación
sustráıdo y en los cuales tengo una inestimable ayuda y un constante est́ımulo en mi labor.

Esta Tesis para optar el t́ıtulo profesional de Ingeniero Civil no hubiera sido posible sin el

apoyo de todas y cada una de las personas e instituciones que han intervenido en ella, de una

forma o de otra, y es por esto que no es para mi solo una obligación, sino que es una sincera

deferencia expresarles, mi mayor y más profundo agradecimiento.

Lucio Quispe Sulca
Ayacucho, Abril de de 2017

ii



Índice general

Portada I

Dedicatoria I

Agradecimientos II

Índice General III

Índice de Figuras VIII

Índice de Cuadros X

List of symbols XII

Resumen XIII

I INTRODUCCIÓN 1

INTRODUCCIÓN 2

II CUERPO DE LA TESIS 4

CAPÍTULO I: CONSIDERACIONES GENERALES 5

1. Consideraciones generales. 5
1.1. Antecedentes bibliográficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Investigación de operaciones en la ingenieŕıa de carreteras. . . . 5
1.1.2. Trabajos basados en la Curva masa. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Trabajos de Programación Lineal en transportes. . . . . . . . . 6

1.2. Descripción de la realidad problemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Formulación del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Problema principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. Problemas secundarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Justificación de la investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Importancia de la investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.1. Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2. Objetivo Espećıficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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ÍNDICE GENERAL

1.7. Hipótesis de la investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7.1. Hipótesis global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7.2. Hipótesis secundarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Metodoloǵıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9. Tipo y nivel de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9.1. Tipo de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9.2. Nivel de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9.3. Diseño de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.10. Equipos, Instrumentos y Aplicaciones usadas. . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10.1. Equipo e instrumentos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.11. Técnicas de recolección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.11.1. Investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL 16

2. Marco teórico y conceptual. 16
2.1. Revisión de literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Explicación del marco teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Investigación de Operaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Disciplinas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3. Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3.1. Caracteŕısticas de los sistemas. . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.4. Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.5. Simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.6. Optimización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.7. Descripción de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.8. Métodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.8.1. Métodos de resolución: 1. Matemáticos-Exactos. . . . . 21
2.2.8.2. Métodos de resolución: 2. Iterativos de aproximación. . 21

2.3. Estado del Arte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Modelos y modelado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2. Tipos de Modelos de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.3. Construcción de un modelo matemático de simulación . . . . . . 24

2.4.3.1. Variables y parámetros de decisisión. . . . . . . . . . . 24
2.4.3.2. Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.3.3. Restricciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.3.4. Función Objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.4. Modelado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.5. Simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.5.1. Etapas de la simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. Métodos de Investigación Operativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.1. Tipos de modelo de Investigación de Operaciones. . . . . . . . . 28
2.5.2. Toma de decisiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.3. Métodos de cálculo en Investigación Operativa. . . . . . . . . . 29
2.5.4. Codificación de problemas de optimización. . . . . . . . . . . . . 32

2.5.4.1. Lenguajes de programación de propósito general . . . . 33
2.5.4.2. Lenguajes o entornos de cálculo numérico o simbólico. 33
2.5.4.3. Lenguajes algebraicos de modelado. . . . . . . . . . . . 33

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ÍNDICE GENERAL

2.6. Modelos de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7. Modelos de Transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7.1. Formulación del Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.1.1. Modelo de Transporte no equlibrado . . . . . . . . . . 37
2.7.1.2. Tabla inicial de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7.1.3. Modelo general de PL que representa al Modelo de

Transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8. Carreteras de bajo volumen de transito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8.1. Alcances del manual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.2. Estructura del manual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.3. Fundamentos del manual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.4. Parámetros y Elementos Básicos de Diseño. . . . . . . . . . . . 41
2.8.5. Diseño Geométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8.5.1. Drenaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8.5.2. Geoloǵıa, Suelos y Capas de Revestimiento Granular. . 41
2.8.5.3. Topograf́ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8.5.4. Impacto Ambiental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8.6. Elementos de Trazado en Planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9. Elementos de Alineamiento Vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.9.1. Rasante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.9.2. Curvas verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.9.3. Pendientes mı́nimas y máximas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.10. Sección Transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.10.1. Calzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.10.2. Bermas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.10.3. Ancho de la plataforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.10.4. Plazoletas de cruce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.10.5. Dimensiones en los pasos inferiores. . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.10.6. Taludes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.11. Movimiento de tierras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.11.1. Compensación lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.11.2. Compensación longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.12. Curva masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.12.0.1. Objetivos de la Curva Masa. . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.12.0.2. Procedimiento para elaborar la curva masa . . . . . . 48

2.13. Datos Necesarios para la curva masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.13.1. Perfil longitudinal de la v́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.13.2. Pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.13.3. Sección t́ıpica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.13.4. Secciones Transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.13.5. Cálculo de Volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.14. Variaciones volumétricas de material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.14.1. Esponjamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.14.2. Compactación (contracción) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.14.3. Selección de factores de esponjamiento y contracción . . . . . . 56

CAPÍTULO III: MATERIALES Y MÉTODOS 57

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ÍNDICE GENERAL

3. Materiales y métodos. 57
3.1. Resolución de Modelos de Transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1. Algoritmo de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1.1. Fase A.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.1.2. Fase B.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.1.3. Fase C.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.1.4. Metodoloǵıa General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1.5. Metodoloǵıa de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.2. Método de la Esquina Noroeste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.2.1. Caracteŕısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.2.2. Algoritmo Método de la Esquina Noroeste. . . . . . . . 60
3.1.2.3. Código en MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.3. Método de Costo Mı́nimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.3.1. Caracteŕısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.3.2. Procedimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.3.3. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.3.4. Código en MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.4. Método de Voguel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.4.1. Caracteŕısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.4.2. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.4.3. Código en MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.5. Método de Rusell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.5.1. Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.5.2. Código en MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2. Resolución de Modelo de Transporte (Manual) . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3. Caso de estudio: Carretera Vecinal Tuco-Ccorihuaylla . . . . . . . . . . 72
3.4. Análisis de escenarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4.1. Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2. Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.3. Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5. Datos de la carretera en estudio que ingresan al programa Tramos . . 79
3.5.1. Datos del Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.2. Datos del Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.3. Datos del Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

CAPÍTULO IV: RESULTADOS Y DISCUSIÓN 82

4. Resultados. 82
4.1. Presentación de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.1. Resultados en Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.1.1. Resumen de resultados en Modelo de Transporte 1 . . 86

4.1.2. Resultados en Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.2.1. Resumen de resultados en Modelo de Transporte 2 . . 90

4.1.3. Resultados de Costos en Modelo de transporte 03. . . . . . . . . 91
4.1.3.1. Resumen de resultados en Modelo de Transporte 3 . . 95

4.2. Comparación de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.1. Comparación de resultados en Modelo de Transporte 1 . . . . . 95
4.2.2. Comparación de resultados en Modelo de Transporte 2 . . . . . 96
4.2.3. Comparación de resultados en Modelo de Transporte 3 . . . . . 96

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ÍNDICE GENERAL

4.2.4. Comparación y selección de resultado óptimo . . . . . . . . . . 97
4.2.5. Interpretación de resultado óptimo. . . . . . . . . . . . . . . . . 98

III CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 100

5. Conclusiones y recomendaciones. 101
5.1. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3. Aplicaciones Utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

BIBLIOGRAFIA 104

IV ANEXOS 108

A. INCIDENCIA 109
A.1. Incidencia del Costo de Movimiento de tierras . . . . . . . . . . . . . . 109

B. FOTOS 117
B.1. Panel fotográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

C. CÁLCULOS 122
C.1. Cálculos en Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

C.1.1. Volúmenes de material de préstamo y material excedente . . . . 123
C.1.2. Momento de transporte de material de préstamo . . . . . . . . . 132
C.1.3. Momento de transporte de material excedente . . . . . . . . . . 138
C.1.4. Cálculo de costos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

C.2. Cálculos en Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C.2.1. Volúmenes de material de préstamo y material excedente . . . . 148
C.2.2. Momento de transporte de material de préstamo . . . . . . . . . 157
C.2.3. Momento de transporte de material excedente . . . . . . . . . . 163
C.2.4. Cálculo de costos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

C.3. Cálculos en Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C.3.1. Volúmenes de material de préstamo y material excedente . . . . 172
C.3.2. Momento de transporte de material de préstamo . . . . . . . . . 180
C.3.3. Momento de transporte de material excedente . . . . . . . . . . 186
C.3.4. Cálculo de costos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

D. METODOLOGIA DE TRABAJO DE GABINETE 194
D.1. Metodologia de trabajo de gabinete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

E. PLANOS 209
E.1. Planos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

F. CÓDIGO DEL PROGRAMA 227
F.1. Código del programa en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

G. ANÁLISIS DE SUELOS 229
G.1. Resultados de análisis de suelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

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Índice de figuras

1.1. Algoritmo de IO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Modelo y simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Tipos de modelo de simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Etapas de la simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4. Modelo de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Modelo de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6. Caracteŕısticas de una carretera de Bajo Volumen de Tránsito . . . . . 40
2.7. Curva Masa de una carretera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8. Curva Masa y Perfil Longitudinal de una carretera . . . . . . . . . . . . 49
2.9. Perfil Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.10. Sección T́ıpica a media ladera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.11. Esponjamiento del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.12. Contracción del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1. Modelo de transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2. Iniciando Programa Tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3. Ingresando numero de ofertas y demandas . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. Matriz de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5. Resultado Método Esquina Noroeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6. Resultado Método Costo Mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7. Resultado Método Voguel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8. Resultado Método Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9. Comparación resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.10. Ubicación satelital de la Carretera Vecinal Tuco-Ccorihuaylla. . . . . . 72
3.11. Curva masa Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.12. Esquema para Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.13. Red de Distribución de Modelo Transporte 1 . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.14. Curva masa Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.15. Esquema para Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.16. Red de Distribución de Modelo Transporte 2 . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.17. Curva masa Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.18. Red de Distribución de Modelo Transporte 3 . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.19. Esquema para Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1. Resultado: Método Esquina Noroeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2. Resultado: Método Costo Mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3. Resultado: Método de Voguell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4. Resultado: Método de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

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ÍNDICE DE FIGURAS

4.5. Resultado: Método Esquina Noroeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6. Resultado: Método Costo Mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.7. Resultado: Método de Voguell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.8. Resultado: Método de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.9. Resultado: Método Esquina Nororeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.10. Resultado: Método del Costo Mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.11. Resultado: Método de Voguell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.12. Resultado: Método de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.13. Resultado óptimo: M. de Russell en Modelo de Transporte 3 . . . . . . 98

B.1. Levantamiento Topográfico del Proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
B.2. Levantamiento Topográfico del Proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
B.3. Levantamiento Topográfico del Proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.4. Levantamiento Topográfico del Proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.5. Levantamiento Topográfico del Proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B.6. Levantamiento Topográfico del Proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B.7. Fotos levantamiento Topográfico del Proyecto. . . . . . . . . . . . . . . 121
B.8. Levantamiento Topográfico Proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

E.1. Plano de Ubicación Macro: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla. 210
E.2. Plano de Ubicación provincial: Proyecto Camino Vecinal Tuco-

Ccorihuaylla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
E.3. Plano de Ubicación distrital: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla.212
E.4. Plano de ubicación satelital: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla.213
E.5. Diagrama Vial: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla. . . . . . . 214
E.6. Plano de Perfil longitudinal-Planta: Proyecto Camino Vecinal Tuco-

Ccorihuaylla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
E.7. Seciones transversales t́ıpicas: Proyecto Camino Vecinal Tuco-

Ccorihuaylla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
E.8. Plano de Canteras: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla. . . . . 217
E.9. Curva Masa Tipo I: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla. . . . 218
E.10.Curva Masa Tipo II: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla. . . . 219
E.11.Curva Masa Tipo III: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla. . . 220
E.12.Esquema Transporte Tipo I: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla.221
E.13.Esquema Transporte Tipo II: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla.222
E.14.Esquema Transporte Tipo III: Proyecto Camino Vecinal Tuco-

Ccorihuaylla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
E.15.Red de Transporte Tipo III: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla.224
E.16.Red de Transporte Tipo III: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla.225
E.17.Red de Transporte Tipo III: Proyecto Camino Vecinal Tuco-Ccorihuaylla.226

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Índice de cuadros

2.1. Técnicas de Investigación Operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Tabla inicial para resolver el Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . . 38
2.3. Índice de curvatura en curvas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Pendientes máximas permisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5. Ancho mı́nimo deseable de calzada en tangente (en metros) . . . . . . . 44
2.6. Sobre anchos de calzada en curvas circulares . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7. Coeficientes de esponjamiento y contracción de diferentes materiales. . 56

3.1. Algoritmo método Esquina Noroeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2. Coordenadas de Inicio y Final de la Carretera Tuco-Ccorihuaylla . . . . 72
3.3. Caracteŕısticas de la carretera Tuco-Ccorihuaylla . . . . . . . . . . . . . 73
3.4. Progresivas de máxima demanda de corte y relleno en Modelo de Trans-

porte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5. Progresivas de máxima demanda de Oferta y Demanda para Modelo de

Transporte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6. Progresivas de máxima demanda en Modelo de Transporte 3 . . . . . . 78
3.7. Volúmenes de Oferta y Demanda para Modelo de Transporte 1 . . . . . 79
3.8. Costo de transporte/m3 en Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . . . 79
3.9. Tabla de transporte en Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . . . . . 80
3.10. Volúmenes de Oferta y Demanda para Modelo de Transporte 2 . . . . . 80
3.11. Costos de transporte/m3 en Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . . 80
3.12. Tabla de transporte en Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . . . . . 81
3.13. Volúmenes de oferta y demanda en Modelo de Transporte 3 . . . . . . 81
3.14. Tabla de transporte en Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . . . . . . 81
3.15. Resúmen costo de transporte/m3 en Modelo de Transporte 3 . . . . . . 81

4.1. Resultados: Método Esquina Noroeste en Modelo de Transporte 1 . . . 82
4.2. Resultados: Método Costo Minimo en Modelo de Transporte 1 . . . . . 83
4.3. Resultados: Método Voguel en Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . 84
4.4. Resultados: Método Russell en Modelo de Transporte 1 . . . . . . . . . 85
4.5. Resultados método convencional en Modelo de Transporte 1 . . . . . . 86
4.6. Resultados: Método Esquina Noroeste en Modelo de Transporte 2 . . . 87
4.7. Resultados: Método Costo Minimo en Modelo de Transporte 2 . . . . . 88
4.8. Resultados: Método Voguell en Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . 89
4.9. Resultados: Método Russell en Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . . 90
4.10. Resultados método convencional en Modelo de Transporte 2 . . . . . . 90
4.11. Resultados: método Esquina Noroeste en Modelo de Transporte 3 . . . 91
4.12. Resultados: Método Costo Minimo en Modelo de Transporte 3 . . . . . 92
4.13. Resultados: Método Voguell en Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . . 93

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ÍNDICE DE CUADROS

4.14. Resultados: Método Russell en Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . . 94
4.15. Resultados método Convencional en Modelo de Transporte 3 . . . . . . 95
4.16. Resumen de resultados en Modelo de Transporte3 . . . . . . . . . . . . 95
4.17. Comparación de resultados en Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . . 96
4.18. Comparación de resultados de los tres casos . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.19. Resumen de comparación de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.20. Matriz de transporte del resultado óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A.1. Resumen del costo de movimiento de tierras . . . . . . . . . . . . . . . 110

C.1. Cálculo costos transporte/m3-Km ; D <= 1 Km . . . . . . . . . . . . . 144
C.2. Cálculo costos transporte/m3-Km ; D > 1 Km . . . . . . . . . . . . . . 144
C.3. Costos transporte en Modelo de Transporte 1: Método convencional . . 145
C.4. Cálculo costos de transporte/m3 de un Origeni a un Destino j . . . . . . 145
C.5. Cálculo de costos de transporte/m3 en Modelo de Transporte 1 . . . . 146
C.6. Costos transporte en Modelo de Transporte 2: Método convencional . . 169
C.7. Cálculo costos de transporte/m3 de un Origeni a un Destino j . . . . . . 169
C.8. Cálculo costo transporte/m3 en Modelo de Transporte 2 . . . . . . . . 170
C.9. Costos transporte en Modelo de Transporte 3: Método convencional . . 192
C.10.Cálculo costos de transporte/m3 de un Origeni a un Destino j . . . . . . 192
C.11.Cálculo costo transporte/m3 en Modelo de Transporte 3 . . . . . . . . 193

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List of symbols

A Conjunto de arcos en la red
BPR Bureau Public Road
CBV T Carretera de bajo volumen de tránsito
MT Modelo de Transporte
Oi Oferta en la posición i
Di Demanda en la posición i
Ci j Costo de transporte de la posición i a j
Xi j Volumen transportado de la posición i a j
CT Función objetivo del costo total de la red
DM Diagrama de masas
IMD Índice medio diario
INEI Instituto Nacional de Estad́ıstica e Informática
IO Investigación de Operaciones
MDE Modelo Digital de Elevaciones
MDT Modelo Digital de Terreno
N Conjunto de nudos en la red
O−D Flujos origen-destino
MTC Ministerio de Transporte y Comunicaciones
Q Flujo neto de veh́ıculos
Q(x, t) Capacidad del arco en estado estacionario
SIG Sistema de Información Geográfico
SINAC Sistema Nacional de Carreteras
GUI interfaz gráfica de usuario,del inglés graphical

user interface

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Resumen

El objeto de la tesis es la determinación de movimiento de tierras de costo mı́nimo en

carreteras de bajo volumen de tránsito, éstas v́ıas en su mayoŕıa ubicadas en el ámbito rural,

conforman el mayor porcentaje del SNC y durante su proceso constructivo los continuos

movimientos de tierra elevan considerablemente el costo de la construcción. El balance

entre el corte y relleno es un objetivo y en los casos en donde no sea posible los cortes son

preferibles y el material excedente de este corte es llevado a depósitos o vertederos (DME) ;

para este balance corte-relleno no se dispone de métodos matemáticos exactos o incorporados

en software de uso comercial. En este trabajo, con un modelo matemático tratamos de

resolver el problema de transporte o distribución de los volúmenes de movimiento de tierras

desde un conjunto de oŕıgenes a otros de destino, a un costo mı́nimo. Para lo cual hemos

generado tres (03) tipos de curvas masas en función a la ubicación de la sub-rasante del

terreno, y en ésta se identificamos los puntos donde existe exceso de corte y a la vez

demanda de relleno. Estos datos generan los esquemas y redes de transporte. Obtenido el

Modelo matemático de transporte de tierras y con los costos de transporte/m3 (Ci) de un

origen (Oi) a un destino (Di), empleando la programación lineal se analiza en un módulo

informático GUI para resolver cada modelo de transporte a fin de obtener el costo mı́nimo.

Los resultados obtenidos se evalúan, comparan con el método convencional de cálculo de

costos, llegándose a obtener los costos mı́nimos usando los métodos de Voguel y Russel. Los

cálculos, resúmenes, metodoloǵıa de trabajo de gabinete se adjuntan en los respectivos anexos.

PALABRAS CLAVES:
Bajo volúmen de tránsito, Curva masa, Tabla de transporte, Red de transporte, Cantera, Fuente, DME,Oŕıgen, Destino,
Modelo de Transporte, Optimización, Costo de transporte, Programación lineal.

Summary

The purpose of the thesis is the determination of movement of land of minimum cost in roads

of low volume of traffic, these roads mostly located in the rural area, make up the greater

percentage of the SNC and during its construction process the continuous earth movements

Considerably increase the cost of construction. The balance between cutting and filling is

a objective and in cases where it is not possible the cuts are preferable and the surplus

material of this cut is taken to deposits or landfills (DME); For this cut-fill balance no exact

mathematical methods are available or incorporated into commercial software. In this work,

with a mathematical model we try to solve the problem of transport or distribution of the

volumes of earth movement from a set of origins to other of destination, at a minimum cost.

For this we have generated three (03) types of mass curves according to the location of the

finsih ground of the terrain, and in this one we identify the points where there is excess

of cut and at the same time demand of filling. This data generates transport schemes and

transport networks. Obtaining the mathematical model of land transportation and transport

costs / m3 (Ci) from a source (Oi) to a destination (Di), using linear programming is

analyzed into a GUI computer module to solve each transport model generated to obtain the

minimum cost. The results obtained are evaluated, compared to the conventional method of

calculating costs, obtaining the minimum costs using the methods of Voguel and Russel. The

calculations, summaries, cabinet work methodology are attached in the respective annexes.

KEY WORDS:
Low Volume of Traffic, Curve mass, Transport table, Transport network, Quarry, Source, DME, Destination, Transport
model, Optimization, Transportation cost, Linear programming. GUI



Parte I

INTRODUCCIÓN

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Introducción.

La carreteras No Pavimentadas de Bajo Volumen de Tránsito, son las v́ıas que con-
forman el mayor porcentaje del Sistema Nacional de Carreteras (SINAC),y se carac-
terizadas por tener una superficie de rodadura de material granular y generalmente
recorridas por un volumen menor de 50 veh́ıculos por d́ıa y que muy pocas veces llegan
hasta 200 veh́ıculos por d́ıa. Además de ser de gran importancia en el desarrollo local,
regional, y nacional por estar dentro de esta categoŕıa la mayor vialidad, se requiere
proporcionar criterios técnicos, sólidos y coherentes de gran utilidad para el diseño y
construcción de este tipo de v́ıas y es importante la ampliación de dicha red de manera
racional y dentro del plan de desarrollo nacional. En el proceso de diseño es necesario
tener en cuenta la optimización de costos, y esta tarea recae sobre el diseñador, quien
debe conocer y aprovechar las técnicas desarrolladas para ello. En el proceso construc-
tivo de una carretera el movimiento de tierras asigna la mayor parte del presupuesto y
para minimizar estos costos generalmente tratamos de colocar la ĺınea de sub-rasante
tan cerca como sea posible a la ĺınea del terreno y este trabajo lo realiza el diseñador
de acuerdo a su experiencia, utilizando técnicas de intento y error, sin ningún proce-
dimiento que justifique el cálculo final o en su defecto buscamos balancear el corte y
relleno y donde éste no sea posible se prefiere el corte para equilibrar el relleno y el ex-
ceso es desechado a un vertero o DME. Para la determinación de movimiento de tierras
de costo mı́nimo en carreteras no se dispone de métodos matemáticos exactos o incor-
porados en software de uso comercial, por lo que se plantea el uso de la programacion
lineal con los modelos de transporte que en forma general se refiere a la distribución
de cualquier bien desde cualquier grupo de centros de suministro, llamados oŕıgenes,
(en este caso las progresivas donde existe exceso de corte) a cualquier grupo de centros
de recepción (progresivas donde existe demanda de relleno), llamados destinos, de tal
manera que se minimicen los costos totales de distribución.Es por esta razón que no
existen muchos trabajos ni muchos especialistas en esta disciplina. Esta tesis tratará
de contribuir en este campo del conocimiento siguiendo la ĺınea planteada en trabajos
previos, e incorporando algunos de los avances producidos desde entonces.
Desde un punto de vista metodológico, abordamos esta investigación tratando de
separarnos del modelo clásico-en el que se balancea el corte y relleno en una progresiva
definida en la curva masa en la que el movimiento de tierras es hacia adelante o
hacia atras- usando la función de minimización basadas en la programación lineal. En
concreto, se estudiarán los métodos de la esquina noroeste (MEN), Costo Mı́nimo,
Método de Voguel y de Coste Mı́nimo. Trabajos similares, también demuestran que
se pueden minimizar los costos mediante la optimización del uso de maquinarias para
el movimiento de tierras pero en la actualidad En este trabajo se releva el estado del
arte respecto a modelos y algoritmos para el problema de optimización de movimiento
de tierras, seleccionados en el contexto del desarrollo de una herramienta de apoyo a
la planificación del transporte rural.

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El desarrollo del trabajo está organizado considerando: la observación de la problemá-
tica, formulación de hipótesis de la problemática y su solución, recopilación de datos,
análisis de datos, formulación de los modelos de optimización de movimiento de tierras
a un costo mı́nimo en la construcción de carreteras, proposición concreta y detallada,
solución y algunos resultados numéricos obtenidos mediante el programa
El presente trabajo de tesis consta de 4 caṕıtulos:
En el Caṕıtulo 1 se presentan las generalidades del trabajo de tesis, describiendo la
formulación del problema, los objetivos, la justificación e importancia, las hipótesis de
trabajo, la metodoloǵıa de investigación, instrumentos y procesamiento de datos.
En el Caṕıtulo 2 se presenta el marco teórico y conceptual, incidiendo fundamental-
mente en los modelos de transporte y el uso de la programación lineal para obtener el
costo mı́nimo en la construcción de una carretera.
En el Caṕıtulo 3 se desarrollan los algoritmos de los Métodos de la Esquina Noroeste,
de Voguel, de Costo mı́nimo y el método de Russell, a fin de obtener un programa que
integre y compare los costos mı́nimos obtenidos con estos métodos.
En el Caṕıtulo 4 se ha desarrollado la implementación computacional y la aplica-
ción del programa Tramos a un caso particular “ Construcción de la carretera Tuco-
Ccorihuaylla”, analizándose varias propuestas de modelización o casos obtenidos en
base a la curva masa y la modificación de la ubicación de la sub-rasante para cada
caso.

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Parte II

CUERPO DE LA TESIS

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Caṕıtulo I

Consideraciones generales.

En este caṕıtulo se presentan las generalidades de este trabajo de tesis, describiendo los objetivos, la

justificación del mismo, aśı como el planteamiento del problema, lo cual conduce a una hipótesis sobre

el mismo. Finalmente, se presenta una sección que describe la metodoloǵıa de investigación cient́ıfica

de esta tesis.

1.1. Antecedentes bibliográficos.

1.1.1. Investigación de operaciones en la ingenieŕıa de carre-
teras.

Conjunto de métodos cient́ıficos que se aplican para mejorar la eficiencia de las
operaciones, decisiones y gestión de una empresa u otro tipo de organización. (2008,
Ferrer, J. M.).

La IO tiene estrecha relación con la Ingenieŕıa de Transportes, buscando optimizar la
operación y explotación de los distintos modos de transporte y en forma complementa-
ria aspectos comerciales y de economı́a de transporte. Resuelve los problemas técnicos
y operativos en la ejecución de una carretera (uso óptimo de maquinarias, recursos
materiales, humanos) en los diversos modos de transporte utilizando conocimientos de
las ciencias f́ısicas, matemáticas e informáticas y la tecnoloǵıa aplicable al sector del
transporte, carreteras y el tránsito.

Figura 1.1: Algoritmo de IO.

Fuente: Bryan Antonio Salazar

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1.2. Descripción de la realidad problemática.

1.1.2. Trabajos basados en la Curva masa.

Utilización de la curva masa en la selección de equipo,
https://vagosdeunisucre.files.wordpress.com.

Optimización del empleo de Maquinarias para el Movimiento de Tierras de un
Proyecto Vial mediante el uso de diagrama de masas, Andrade Elizabeth Lam
y Tamı́rez Alvarado P. Armando ; 2009 Escuela Superior Politécnica del Litoral,
Guayaquil Ecuador .

Movimiento de tierras, Torres Urbina Enrique , 2014; Universidad Veracruzana,
Méjico.

Análisis y ejecución de movimiento de tierras en una obra empleando el diagrama
de curva masa, Guevara Mart́ınez 2,015; Universidad de Piura

Análisis de maquinaria óptima para el movimiento de tierras v́ıa Chilla-Guanazan
1 km usando diagrama de masa. Carrión Matamoros Gonzalo Michael, 2,015;
Universidad Técnica de Machala.

1.1.3. Trabajos de Programación Lineal en transportes.

Mejora del Tiempo de Operatividad de Camiones Volquetes en Proyectos de
Mantenimiento Vial, utilizando Teoŕıa de Confiabilidad en un Sistema Simulado,
N. Carla Calderón Quesada; 2014 Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Optimización del empleo de Maquinarias para el Movimiento de Tierras de un
Proyecto Vial mediante el uso de diagrama de masas, G. Elizabeth Andrade Lam-
P. Armando Tamı́rez Alvarado; 2009 Escuela Superior Politécnica del Litoral,
Guayaquil Ecuador .

Estrategia de transporte, Fernanda Garcia, Ulises Fuentes, Jorge Oli-
vares, Arturo Hernández, Alberto Contreras, Ivan Mar Barajas; 2016
http://www.youtube.com/watch?v=Xl95E7rD2Vs.

Un algoritmo para la optimización de rutas de transporte, A. Garrido E.y Onain-
d́ıa; Dpto. Sistemas Informáticos y Computación de la Universidad Politécnica
de Valencia-España.

Planteamiento de modelo general por medio de programación lineal para op-
timizacion de maquinaria pesada, Rogelio Alfaro Medina, 2009 , Universidad
Industrial de Santander-España

Metodoloǵıa para mejorar el proceso de asignación de tráfico a una red de trans-
porte, R. Gandhi Astete Chuquichaico, 2011, Universidad Nacional de Ingenieŕıa

1.2. Descripción de la realidad problemática.

Actualmente, una manera de minimizar la cantidad de movimiento de tierras es la
de colocar la ĺınea de sub-rasante tan cerca como sea posible a la ĺınea del terreno,
mientras se considera también el balance de corte y relleno. En realidad la elevación

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1.3. Formulación del problema.

de la ĺınea de terreno raramente representa a la sección entera en términos de balanceo
de corte y relleno. El proyectista en todo momento utiliza la metodoloǵıa de intento y
error, para lograr un alineamiento vertical razonablemente correcto. Esta metodoloǵıa
no cuenta con base matemática para producir resultados óptimos.

De la misma manera, para la determinación de movimiento de tierras de costo mı́nimo
en carreteras no se dispone de métodos matemáticos exactos o incorporados en
software de uso comercial. El modelo matemático trata de resolver el problema de
transporte estudiando la distribución de los volúmenes de movimiento de tierras desde
un conjunto de oŕıgenes a otros de destino, sin superar las restricciones necesidades
o disponibilidades, con costo mı́nimo. El modelo de transporte tiene notable interés
por sus importantes aplicaciones que, no se restringe únicamente a la distribución. Su
procedimiento espećıfico de solución, llamado algoritmo de transporte, consta de dos
fases y es rápido y eficiente.

Es por esta razón que no existen muchos trabajos ni muchos especialistas en esta
disciplina. Esta tesis tratará de contribuir en este campo del conocimiento siguiendo la
ĺınea planteada en trabajos previos, e incorporando algunos de los avances producidos
desde entonces.

Desde un punto de vista metodológico, abordamos esta investigación tratando de sepa-
rarnos de las hipótesis de los modelos clásicos como de PERT, CPM y de las especifica-
ciones de la función de minimización basadas en programación lineal. En concreto, se
estudiarán los métodos de: Esquina Noroeste (MEN), Voguel , Costo Mı́nimo y Russell.

1.3. Formulación del problema.

1.3.1. Problema principal.

1. ¿En qué medida se puede optimizar costos de movimiento de tierras utilizando
aplicaciones especiales de la programación lineal para problemas de transporte
que conduzcan a determinar el movimiento de tierras de costo mı́nimo? y ¿Cuál
es el grado de aproximación y la sensibilidad de la solución de un problema de
transporte con una función objetivo y restricciones particulares para el caso de
estudio abordado que buscan determinar el movimiento de tierras óptimo para la
construcción de una carretera?.

1.3.2. Problemas secundarios.

1. La evaluación de movimiento de tierras en la construcción de una carretera está
necesitando de procedimientos distintos para situaciones de proyectos vinculados
a intervenciones en carreteras de bajo volumen de tránsito de tal forma que no
se condicione la viabilidad del proyecto y se tenga una sostenibilidad del sistema
de transporte. Aśı, en los actuales instrumentos no se contempla, ni siquiera
levemente, una formulación distinta para el actual escenario de planeamiento y
construcción de carreteras en relación a determinar el movimiento de tierras de
costo mı́nimo que se integre adecuadamente a los procesos de optimización que
se vienen dando en las ĺıneas de investigación de la ingenieŕıa de transportes?

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1.4. Justificación de la investigación.

2. Es operable presentar un modelo de optimización vinculados al movimiento de
tierras en la construcción de una carretera de bajo volumen de tránsito, com-
prehensivos que permitan usar las técnicas actuales de simulación sistema de
transportes que exigen un modelado de las variables intŕınsecas y extŕınsecas,
que recojan su carácter determińıstico, y muy especialmente en el caso de accio-
nes variables como el de origen y destino del movimiento de tierras?.

3. Es factible la aplicación de procedimientos avanzados de las exigencias de simu-
lación de sistemas de transporte cuando se trata de construcción de carreteras de
bajo volumen de tránsito, con rasgos particulares basados en la actual operación
del sistema, para lejos del concepto antiguo de actuar del lado de la seguridad
pasar a la evaluación del lado de la realidad, según fases sucesivas de análisis
que contemple como factor determinante el nivel de información disponible como
elemento corrector de la incertidumbres iniciales?

1.4. Justificación de la investigación.

En la actualidad, América Latina está viviendo un fenómeno de inversión en proyectos
viales. Presentando, de entre muchos aspectos, a las carreteras de bajo volumen
de tránsito como un proyecto bastante difundido, donde las partidas vinculadas al
movimiento de tierras son un componte importante de la inversión total .En esta
readecuación al desarrollo rural, se requiere de propuestas de proyectos que sean
los más óptimas posibles, de tal manera que no sea un freno y śı un motor de aceleración.

Usualmente, los Proyectos de Inversión que se desarrollan están basados en función
a diseños convencionales, sin considerar la vialidad en la zona rural derivada de una
ingenieŕıa de transporte y las tecnoloǵıas de construcción adecuadas; pues las acciones
que se dan en los proyectistas y consultores se orientan simplemente a repetir las
estrategias constructivas de siempre, sin realizar estudios exhaustivos que determinen
proyectos de costo mı́nimo, que certifiquen una realidad próxima en la que se tenga
una mejor dirección técnico - económica del comportamiento de la construcción de
una carretera. Razones por las cuales se justifica la necesidad de impulsar un estudio
piloto de utilización de modelos especiales de programación lineal para determinar el
movimiento de tierras de costo mı́nimo.

Reconociendo las limitaciones a enfrentar, como las finalidades a lograr, este trabajo
de investigación concibe como aporte el constatar cuáles son los modelos más eficientes
y económicamente factibles a ser utilizadas en la construcción de una carretera de
bajo volumen de tránsito.

Dicho modelo de transporte se somete a un análisis de sensibilidad a través de
un modelamiento virtual basado en la adaptación del sistema, que se acerque a
un comportamiento lo más realista posible del problema de movimiento de tierras,
permitiendo determinar cuál de las alternativas de construcción expuestas es la que
mejor responde al balance corte-relleno y que sea la más idónea frente a un estudio
de comparación técnico - económica que garantice la seguridad tanto del material
humano como de las inversiones, consolidando los objetivos que toda intervención civil

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1.5. Importancia de la investigación.

debe perseguir a favor del desarrollo.

La justificación del trabajo también se relaciona con las actividades de evaluar, acotar
y establecer decisiones de construcción de carreteras, aśı como los niveles intermedios
con el objeto de alcanzar la fiabilidad del sistema que posibilite tener un paralelismo
con el grado de confianza personal que se tiene en la construcción de carreteras en un
determinado momento.

1. Conveniencia: La investigación sirve para analizar y comprender la complejidad
de los emergentes sistemas económicos, sociales y culturales según el ”paradigma
tecnológico” pues la construcción de infraestructuras ha sido la base de la cons-
trucción del propio territorio, que transforma y adapta la geograf́ıa f́ısica y que
actualmente está en boga todo lo relacionado a lo urbano Castells (1995).

2. Relevancia social: La investigación tiene la trascendencia de permiten evaluar
las posibilidades de movimiento de tierras en la construcción de una carretera
antes de llevarlos a cabo para predecir su utilidad; de tal forma que se obtengan
beneficios de costos y tiempos de construcción.

3. Implicancias prácticas: La investigación permitirá solucionar problemas reales
que afectan a la ingenieŕıa de carreteras, pues la infraestructura vial existen-
te demanda intervenciones en especialmente asociadas a las carreteras de bajo
volumen de tránsito.

4. Valor teórico: La investigación ofrece la posibilidad de explorar en la búsqueda
teórica de alternativas desde la perspectiva tecnológica, pues se contribuirá al co-
nocimiento en optimización en ingenieŕıa aplicado a la construcción de carreteras,
por cuanto la mayoŕıa de soluciones consolidadas a lo largo de las dos últimas
décadas son sólo para infraestructura vial urbana.

5. Utilidad metodológica: La investigación ayudará a crear un nuevo instrumen-
to para procesar y analizar datos para modelar llos movimientos de tierras en la
construcción de carreteras, contribuyendo a resaltar aspectos en que ingenieros
intervienen y aportando un valor añadido sobre aspectos novedosos de la mode-
lación de transporte, buscando crear un diseño sostenible para las carreteras de
bajo volumen de tránsito.

1.5. Importancia de la investigación.

El transporte por carretera, tanto de viajeros como de mercanćıas, es el modo predo-
minante para el transporte interior en todos los páıses del mundo y su participación
en el transporte total ha venido creciendo continuamente en los últimos años. El
transporte por carretera tiene consecuencias positivas para el desarrollo económico y
la calidad de vida de los ciudadanos, pero también impactos negativos.

Para mantener las redes viarias en condiciones óptimas para hacer frente a la demanda
son necesarias grandes inversiones, tanto en la conservación de las infraestructuras
existentes, como en la construcción de nuevas infraestructuras. En nuestro páıs, la

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1.5. Importancia de la investigación.

red viaria se encuentra en proceso de construcción y mejoramiento. Es importante
la ampliación de dicha red de manera racional y dentro del plan de desarrollo
institucional. En el proceso de diseño es necesario tener en cuenta la optimización
de costos. Esta tarea recae sobre el diseñador, quien debe conocer y aprovechar las
técnicas desarrolladas para ello.

Creo que se debe recuperar el interés por las grandes bases, para que el gran y
buen esfuerzo llevado a cabo en los procedimientos, se vea recompensado con la
utilización de bases afinadas y acordes con los métodos de cálculo. A este propósito
está dedicada esta investigación, a estudiar una de las bases que incide, funda-
mentalmente, en los criterios de aplicación de los modelos de optimización en el
movimiento de tierras en la construcción de una carretera y dando énfasis al desarrollo
de un modelo de transporte para determinar el movimiento de tierras con costo mı́nimo.

La planeación del transporte basada en herramientas de apoyo a la decisión cobra
cada vez mas importancia, tanto en los páıses desarrollados como en los en v́ıas de
desarrollo. Una proporción importante de los viajes en nuestra región son efectuados
utilizando carreteras denominadas de ”bajo volumen de tránsito”. Problemas como
el origen y destino de los movimientos de tierra, han recibido poco tratamiento,
contándose con modelos de optimización para los cuales se dispone de algoritmos de
transporte que pueden resultar eficientes.

En cambio el problema de optimización de rutas y frecuencias posee varias aplica-
ciones y se abordaron de distinta manera, tanto su formulación como la derivación
de algoritmos eficientes de resolución. En este trabajo se releva el estado del arte
respecto a modelos y algoritmos para el problema de optimización de movimiento de
tierras, seleccionados en el contexto del desarrollo de una herramienta de apoyo a la
planificación del transporte rural.

En los últimos años se ha dado un gran impulso a la investigación en los procesos
de optimización aplicadas a la Ingenieŕıa de Transportes por su utilidad cuando no
hay métodos exactos, cuando el tiempo de procesamiento es muy grande, cuando
los datos son poco fiables. Son muchos los campos de aplicación, en este trabajo
proponemos la utilización de los modelos determińısticos como aplicaciones especiales
de la programación lineal a través de modelos de transporte para el estudio del
movimiento de tierras en la construcción de una carretera, dando énfasis a la toma de
decisiones para determinar el movimiento de tierras de costo mı́nimo; en la cual se
incorporará la metodoloǵıa para análisis de sistemas de transporte.

El desarrollo del trabajo está organizado considerando: la observación de la problemá-
tica, formulación de hipótesis de la problemática y su solución, recopilación de datos,
análisis de datos, formulación de los modelos de optimización de movimiento de tierras
en la construcción de carreteras, proposición concreta y detallada, solución y algunos
resultados numéricos obtenidos mediante el programa a crear y otros de uso comercial,
estudio de los resultados obtenidos, del cual discutimos sus caracteŕısticas y nuestra
propuesta de determinación de movimiento de tierras que integra la simulación del sis-
tema de transporte y para finalizar enumeramos algunas conclusiones y ĺıneas futuras
de intervención.

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1.6. Objetivos.

1.6. Objetivos.

Objetivo: identificar las decisiones óptimas.

1. Normalmente existen múltiples soluciones para las que el sistema verifica las
restricciones: se denominan soluciones factibles.

2. Es necesario establecer criterios que permitan ordenar las soluciones de mejor a
peor. Se puede definir una función objetivoque valore cuantitativamente la bondad
de una cierta solución.

Los objetivos planteados en el plan de investigación se han mantenido y han direccio-
nado la ejecución de la tesis, los cuales menciono a continuación:

1.6.1. Objetivos Generales.

1. Plantear un modelo de transporte de programación lineal para determinar el mo-
vimiento de tierras en la construcción de una carretera, aplicándolo a un proyecto
real, utilizando modelos determińısticos como los de esquina noroeste, Voguel y
costo mı́nimo, para el cálculo de movimiento de tierras en carreteras de bajo volu-
men de tránsito y determinar su grado de exactitud para resolver el problema de
determinar el movimiento de tierras de costo mı́nimo utilizando procedimientos
clásicos, y realizar un análisis comparativo frente a los métodos propuestos en
esta tesis.

1.6.2. Objetivo Espećıficos.

Exponer las principales formulaciones utilizadas en el análisis por optimización
de movimiento de tierras.

Mostrar como se aplica el método de análisis por optimización al análisis de
modelos de transporte.

Realizar el análisis de un proyecto espećıfico de la región para aplicar los modelos
matemáticos de aplicaciones especiales de programación lineal que se elaboren.

Analizar los métodos actualmente utilizados y realizar un análisis comparativo, de
tal forma que se obtengan procedimientos para determinar volúmenes de tierras y
los equipos necesarios para ejecutar los trabajos, cuya clave es el correcto manejo
del diagrama de masas.

Diseñar módulos informáticos en GUI para resolver el modelo matemático del
movimiento de tierras óptimo para el cálculo de volúmenes de tierras en carreteras
de bajo volumen de tránsito.

1.7. Hipótesis de la investigación.

1.7.1. Hipótesis global.

1. Los métodos de cálculo de movimiento de tierras en la construcción de una carre-
tera, los instrumentos y normativas pensados para fases de proyectos y operación

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1.8. Metodoloǵıa.

que se vienen aplicando, en el d́ıa a d́ıa, es a todas luces inexacta, donde en no po-
cas ocasiones la gran disparidad de criterio, se ha centrado no tanto en el balance
de origen y destino de los cortes y rellenos, y lo que es peor, de valores asumi-
dos sin ningún criterio de transporte e ingenieŕıa de optimización, que determine
obtener resultados de costo mı́nimo de manera coherente. A este respecto es ne-
cesario indicar taxativamente que existe el contraste entre fases con los términos,
proyectar del lado de la seguridad y comprobar del lado de la realidad.

1.7.2. Hipótesis secundarias.

1. Si se observa el panorama de la ingenieŕıa de tránsito, el nivel de avance que han
experimentado los procedimientos de análisis de sistemas de transporte, sobre
todo estos últimos años, ha sido muy notable, amparados especialmente en el
enorme recurso que ha supuesto la informática para las simulaciones y optimiza-
ciones en sistemas de transporte.

2. Considerando las bases de partida y de las exigencias del proceso de modelamiento
del movimiento de tierras de una carretera, los datos que se introducen en los
procedimientos de cálculo, actualmente tan sofisticados, no están a la altura ni
en el nivel de afine necesario para que el procediendo dé resultados satisfactorios
para el análisis del movimiento de tierras con costo mı́nimo que posibilite el
desarrollo de proyectos viales con probidad.

3. El problema en movimiento de tierras radica en la falta de planificación previa
ejecución, de qué equipos utilizar para los trabajos de excavación, relleno y trans-
porte, y el poco conocimiento de las condiciones en que se encuentra el terreno.
Los ingenieros constructores suelen cometer el error de alquilar la maquinaria sin
determinar previamente las necesidades de la misma. Por ello, es común ver en
una obra que los equipos se encuentren paralizados, sin poder avanzar, lo cual
representa pérdida para el contratista. Por ello, el presente trabajo busca esta-
blecer claramente el procedimiento idóneo para reducir al máximo los tiempos
improductivos y pérdidas de dinero.

4. Es factible que empleando un programa, podamos crear una aplicación informá-
tica que además de automatizar los diferentes procesos de análisis y diseño de
carreteras de bajo volumen de tránsito, permita evaluar y valorar diferentes con-
figuraciones, en afán de encontrar la solución óptima desde diversos puntos de
vista dependiendo del fin.

1.8. Metodoloǵıa.

El proceso metodológico seguido se basa en que las etapas a considerar parten del des-
cubrimiento del problema a investigar, pasando por la documentación del problema, la
idealización de la respuesta al problema y concretarla en objetivos, diseñar estrategias
para verificar la presunción del problema, contrastación con la realidad, establecer las
conclusiones y concretar resultados.

Desde mucho antes, el hombre ha tratado de optimizar recursos, resultando natural
en problemas cotidianos. Esto ha venido evolucionando y en los últimos siglos se han

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1.9. Tipo y nivel de investigación.

desarrollado métodos de optimización, para resolver problemas muy complejos. La
disciplina encargada de ello es la Investigación de Operaciones.

No fue hasta la aparición de las computadoras en que se probaron la eficacia de estos
métodos, creando y probando nuevos algoritmos. En nuestros d́ıas se da un gran
avance en la resolución de problemas realmente complejos mediante la combinación de
técnicas de Investigación de Operaciones y Modelamiento Computacional. Se estudiará
las técnicas que abordan la minimización de costos de movimiento de tierras utilizando
técnicas de Investigación de Operaciones espećıficamente en el movimiento de tierras,
el cual es determinante en el diseño integral de la v́ıa.

Actualmente, este trabajo lo realiza el diseñador de acuerdo a su experiencia, utilizando
técnicas de intento y error, sin ningún procedimiento que justifique el cálculo final, y
lo que es peor, las instituciones que financian estos proyectos no exigen justificación
alguna de diseño óptimo. Entonces, las personas que toman las decisiones sobre la
construcción de carreteras lo hacen, pues, sobre una solución factible no optima, de las
infinitas que existen. El problema toma mayor importancia por tratarse de proyectos
de grandes inversiones, por lo que resulta inconcebible no realizar una optimización de
costos en el diseño.

Se ha hablado poco de la metodoloǵıa empleada para estos cálculos, quizá por que no
se contaba con las herramientas informáticas que hoy hacen posible realizar miles de
cálculos en forma rápida y con un alto grado de precisión. Esta herramienta ha permi-
tido aplicar antiguos modelos probados a escala pequeña, a problemas reales con miles
de variables, aśı como plantear nuevos modelos en constante evolución y mejoramien-
to para resolver problemas de gran complejidad. Es importante que los profesionales
encargados de diseñar y aprobar los proyectos de carreteras tengan presente estas téc-
nicas, para aplicarlas racionalmente en la elaboración de los expedientes técnicos con
los que se aprueban y ejecutan los proyectos de carreteras.

1.9. Tipo y nivel de investigación.

Se encuentra condicionado por el enfoque seleccionado, problema, contexto, alcances,
hipótesis. La estrategia usada esta basada en la aplicación del método cient́ıfico. La
definición del método se apoya en el estudio prospectivo sustentado en un modelo
operativo, orientado a proporcionar respuestas o soluciones a problemas planteados en
una determinada realidad.

1.9.1. Tipo de investigación.

Investigación aplicada o tecnológica; por cuanto se utiliza los conocimientos en la
práctica misma en redes urbanas de transporte, para aplicarlos en la caracterización
numérica del modelo continuo y en el uso del modelo de optimización determińısticos
y las simulaciones, en provecho del hombre y la sociedad.

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1.10. Equipos, Instrumentos y Aplicaciones usadas.

1.9.2. Nivel de investigación.

Investigación correlacional; pues se tiene como finalidad establecer el grado de re-
lación o asociación no causal existente entre dos o más variables. Se caracteriza porque
primero se miden las variables y luego, mediante pruebas de hipótesis correlacionales
y la aplicación de técnicas estad́ısticas, se estima la correlación.

Investigación explicativa; pues esta investigación busca el porque de los hechos
mediante el establecimiento de relaciones causa-efecto. En este sentido, el presente
estudio se ocupa tanto de la determinación de las causas (investigación postfacto),
como de los efectos (investigación experimental), mediante la prueba de hipótesis. Sus
resultados y conclusiones constituyen el nivel más profundo de conocimientos.

1.9.3. Diseño de investigación.

Investigación no experimental, pues los hechos y las variables ya ocurrieron y
esta investigación observa variables y relaciones entre éstas en su contexto natural.
El diseño es longitudinal, pues se efectuaron observaciones en varios momentos o
puntos del tiempo. Considerando que se estudió un dominio son diseños de tendencia,
y como se analizó los subdominios son diseños de análisis evolutivos de grupo.

1.10. Equipos, Instrumentos y Aplicaciones usadas.

1.10.1. Equipo e instrumentos utilizados

Equipo usado en campo

GPS marca Garmin CX62

Estación total Leika

Ecĺımetro

Wincha de 60 mts.

Flexómetro de 8 mts.

Jalones

Otros.

Equipo usado en gabinete

Computadora de escritorio Core I7

Impresora

Otros

Aplicaciones usadas

MATLAB 7.1 R14 sp3, para la codificación del Programa TRAMOS y otros
programas complementarios de preprocesado de datos.

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1.11. Técnicas de recolección.

CAD, GIS para la generación de los datos de entrada numéricos usados en tests.

LaTeX para la generación de toda la documentación del proyecto, haciendo uso
de las herramientas WinEdt, MiKTeX, GSView y Adobe Acrobat.

Documentación disponible en Internet correspondiente a las distintas herramien-
tas y lenguajes empleados.

1.11. Técnicas de recolección.

En primer lugar, se estableció un conocimiento exacto del sistema que se está anali-
zando: los objetivos, los componentes y la estructura del mismo; sus ĺımites e interre-
laciones, tanto de sus componentes como del sistema con el medio donde se encuentra;
determinar la información que alimenta al sistema y la información que se espera que
el sistema entregue, etc.

a Revisión tecnológica.- tiene como objetivo establecer una idea clara del estado del
arte y de las opciones tecnológicas que se encuentran en el mercado que pueden
dar solución al problema. Se empleó como técnicas e instrumentos el fichaje (las
documentales) y la observación (las no documentales)

b Modelamiento.- Con la introducción de las aplicaciones de matemáticas en el campo
de la ingenieŕıa, la manera de formular y resolver los problemas en sufren una im-
portante reestructuración pues se introduce las herramientas de cálculo informáticas.
El diseño de estas herramientas aplicativas, se constituyen en un reto para cambiar
el modo de proceder, de manera que vaya más acorde con los instrumentos que las
nuevas tecnoloǵıas ponen a nuestra disposición y, sobre todo, que permita realizar
una actividad ingenieril para la vida profesional; facilitando al alumno adaptarse a
los distintos cambios que, sin duda, tendrá que acometer a lo largo de su carrera.

1.11.1. Investigación.

Este proyecto parte del desaf́ıo de pensar nuevas formas de acceso al conocimiento, y
consolidar la aplicación de los métodos numéricos en ingenieŕıa, con el uso de la infor-
mática en propuestas que planteen distintas concepciones sobre la la optimización
de movimientos de tierras en carreteras de bajo volumen de tránsito.

La labor del investigador engloba:

Recopilar y analizar datos.

Definir una objetivo y solucionarlos construyendo y probando modelos matemá-
ticos.

Proponer soluciones y/o recomendaciones al decisor.

Interpretar la información.

Desarrollar y mantener sistemas y aplicaciones informáticas

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Caṕıtulo II

Marco teórico y conceptual.

En este caṕıtulo se presenta una revisión del estado del arte, incidiendo principalmente en la progra-

mación lineal y la investigación de operaciones en el problema de transporte, mediante un modelo

matemático tratamos de resolver el problema de transporte estudiando la distribución de los volú-

menes de movimiento de tierras en una carretera de bajo volumen de tránsito, se trata de llevar los

volumenes de tierra desde un conjunto de oŕıgenes a otros de destino, sin superar las restricciones

necesidades o disponibilidades, a un costo mı́nimo. Reconociendo las limitaciones a enfrentar, como

las finalidades a lograr, este trabajo de investigación concibe como aporte el constatar cuáles son los

modelos más eficientes y económicamente factibles a ser utilizadas en la construcción de una carretera

de bajo volumen de tránsito.

2.1. Revisión de literatura.

Referente a la revisión de literatura, se abordan los aspectos de optimización en inge-
nieŕıa, podemos citar:

a.- Jauffred-Moreno-Acosta (1975) en el tratado de “Métodos de Optimización” in-
dica taxativamente que muchos aspectos de la teoŕıa de optimización han sido
conocidos desde hace siglos, pero la dificultad de cálculo no haćıa posible su
aplicación práctica. El desarrollo de las computadoras ha hecho atractivos es-
tos viejos métodos y sirvió de est́ımulo para realizar un gran número de nuevas
investigaciones sobre optimización.

b.- Wilde y Beightler (1976) en “Teoŕıa de Optimización” planteó que hoy en
d́ıa, muchas decisiones importantes se toman mediante la elección de una me-
dida cuantitativa de la eficiencia seguida de su optimización. La palabra ”́opti-
mo”significa ”lo mejor 2se ha convertido en un término técnico que presupone
medida cuantitativa y análisis matemático

c.- Prawda (1985) en “Métodos y modelos de investigación de operaciones” señaló
que la segunda mitad del siglo XX se ha caracterizado por el tremendo avance
que se ha tenido en las diferentes ramas de la ciencia. Bajo tal avance, no se ha
tenido más remedio que abandonar la formación generalista de las profesiones.
Los problemas que se presentan son multidisciplinarios, por ello; el diseño en
ingenieŕıa es un proceso de aplicación de varias técnicas y principios para definir
un aparato, proceso y sistema en suficiente detalle que permita su realización
f́ısica. Aśı, el problema de diseño implica una acción, un resultado final que tiene
una realidad f́ısica. Una de las caracteŕısticas de un problema de diseño es que no

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2.2. Explicación del marco teórico.

tiene una solución única; no hay una respuesta correcta, pero usualmente existen
varias respuestas adecuadas, unas mejores que otras.

2.2. Explicación del marco teórico.

En este trabajo de investigación, usando modelos matemáticos queremos constatar
cuáles son los modelos de transporte más eficientes y económicamente factibles a ser
utilizadas en la construcción de una carretera de bajo volumen de tránsito y consolidar
la aplicación de los métodos numéricos en ingenieŕıa, con el uso de la informática en
propuestas que planteen distintas concepciones sobre el Movimiento de tierras en
una carretera de bajo volumen de tránsito.
La labor del investigador engloba:

Recoger y analizar datos.

Construir y probar modelos matemáticos.

Proponer soluciones y/o recomendaciones al decisor.

Interpretar la información

Desarrollar y mantener sistemas y aplicaciones informáticas

Con la introducción de las aplicaciones de matemáticas en el campo de la ingenieŕıa, la
manera de formular y resolver los problemas en sufren una importante reestructuración
pues se introduce las herramientas de cálculo informáticas. El diseño de estas herra-
mientas aplicativas, se constituyen en un reto para cambiar el modo de proceder, de
manera que vaya más acorde con los instrumentos que las nuevas tecnoloǵıas ponen a
nuestra disposición y, sobre todo, que permita realizar una actividad ingenieril para la
vida profesional; facilitando al alumno adaptarse a los distintos cambios que, sin duda,
tendrá que acometer a lo largo de su carrera.

2.2.1. Investigación de Operaciones.

Algunas definiciones de la IO 1 son:

Es un conjunto de técnicas matemáticas que se utilizan para la toma de decisiones
óptimas y el análisis de comportamiento de sistemas. (1985, Marrero De León).

Es un método que permite encontrar las relaciones óptimas que mejor operen
un sistema, dado un objetivo espećıfico. En un sistema, el comportamiento de
cualquiera de sus partes o componentes tiene efectos directos e indirectos con
el resto; por tanto, es necesario que exista un procedimiento sistemático que
logre identificar aquellas interacciones que tengan efectos de importancia y, las
componentes controlables asociadas. (1975, Hall, A.)

1Investigación Operativa (IO).

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2.2. Explicación del marco teórico.

El enfoque fundamental de la investigación operativa es el análisis de sistemas, por el
cual, a diferencia del enfoque tradicional, se estudia el comportamiento de todo un con-
junto de partes o sub-sistemas que interaccionan entre śı, se identifica el problema y se
analizan sus repercusiones, y se buscan soluciones integrales que beneficien al sistema
como un todo. Para hallar la solución, la investigación operativa generalmente repre-
senta el problema como un modelo matemático, que se analiza y evalúa previamente,
para analizar el comprotamiento de los componentes de un sistema con el fin de opti-
mizar su desempeño. La investigación de operaciones es una ciencia interdisciplinaria.
https://es.wikipedia.org/wiki/Investigación de operaciones (2017)

2.2.2. Disciplinas.

Clasificación de métodos de optimización:

Clásico (Programación Matemática).

• Programación Lineal (LP).

• Programación Lineal Entera Mixta (MIP).

• Programación No lineal (NLP) .

• Dinámica (DP).

• Multiobjetivo (MP).

• Teoŕıa de la decisión.

• Teoŕıa de juegos.

• Teoŕıa de colas.

• Teoŕıa de grafos.

Metaheuŕısticos(Aproximación)

• Algoritmos genéticos.

• Búsqueda heuŕıstica.

• Colonia de Hormigas

2.2.3. Sistema.

Un sistema es un conjunto de partes o elementos organizadas y relacionadas que
interactúan entre śı para lograr un objetivo. Los sistemas reciben (entrada) datos,
enerǵıa o materia del ambiente y proveen (salida) información, enerǵıa o materia.
http://www.alegsa.com.ar/Dic/sistema.php (2017)

2.2.3.1. Caracteŕısticas de los sistemas.

Un sistema puede ser f́ısico o concreto (una computadora, un televisor, un hu-
mano) o puede ser abstracto o conceptual (un software).

Cada sistema existe dentro de otro más grande, por lo tanto un sistema puede
estar formado por subsistemas y elementos, y a la vez puede ser parte de un
supersistema (suprasistema).

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2.2. Explicación del marco teórico.

Los sistemas tienen ĺımites o fronteras (Ver: frontera de un sistema), que los dife-
rencian del ambiente. Ese ĺımite puede ser f́ısico (el gabinete de una computadora)
o conceptual. Si hay algún intercambio entre el sistema y el ambiente a través de
ese ĺımite, el sistema es abierto, de lo contrario, el sistema es cerrado.

El ambiente es el medio en externo que envuelve f́ısica o conceptualmente a un
sistema. El sistema tiene interacción con el ambiente, del cual recibe entradas y
al cual se le devuelven salidas.

http://www.alegsa.com.ar/Dic/sistema.php (2017)

2.2.4. Modelo.

“Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad
compleja, que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio estudio de su com-
portamiento”. 2 Para aumentar la abstracción del mundo real,los modelos se clasifican
como: Icónicos, análogos, simbólicos.
Modelos icónicos.- Son la representación f́ısica, a escala reducida o aumentada de un
sistema real.
Los modelos análogos.- Esencialmente requieren la sustitución de una propiedad por
otra con el fin de permitir la manipulación del modelo. Después de resolver el problema,
la solución se reinterpreta de acuerdo al sistema original.
Modelos simbólicos o matemáticos.- Son los modelos más importantes para la
investigación de operaciones, emplean un conjunto de śımbolos y funciones para repre-
sentar las variables de decisión y sus relaciones para describir el comportamiento del
sistema. El uso de las matemáticas para representar el modelo, el cual es una represen-
tación aproximada de la realidad, nos permite aprovechar los computadores con velo-
cidades alta de procesamiento y aplicaciones de solución con matemáticas avanzadas o
de iteración. http://investigacionoperaciones541.blogspot.pe/2011/04/metodologia-de-
la-investigacion-de.html (2011) . En el desarrollo de este trabajo, al referirinos a mo-
delos; implicitamente estaremos refiriéndonos a un modelo matemático.

Figura 2.1: Modelo y simulación.

Fuente: Elaboración propia

2Diccionario de la Lengua Española, Real Academia Española.

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2.2. Explicación del marco teórico.

2.2.5. Simulación.

Ŕıos Inzua (2008) nos dice que: “La Simulación consiste en construir modelos infor-
máticos que describen la parte esencial del comportamiento de un sistema de interés,
aśı como en diseñar y realizar experimentos con tales modelos con el fin de extraer
conclusiones de sus resultados para apoyar la toma de decisiones.”

Banks (1998) la define de la siguiente manera:
“Una simulación es la imitación de la operación de un sistema o proceso real a través
del tiempo. Ya sea manual o por computadora, la simulación por definición se refiere
a la generación de una historia artificial del sistema y la observación de esta historia
para proyectar inferencias sobre las caracteŕısticas del sistema real.”

2.2.6. Optimización.

Optimización:Determinación de una alternativa de decisión con la propiedad de
ser mejor que cualquier otra en algún sentido a precisar

Elementos de un problema de optimización:

• Función objetivo:Medida cuantitativa del funcionamiento del sistema que se
desea optimizar (maximizar o minimizar)

• Variables: Representan las decisiones que se pueden tomar para afectar el
valor de la función objetivo.

◦ Variables independientes.

◦ Variables dependientes.

• Restricciones: Representan el conjunto de relaciones (ecuaciones e inecua-
ciones) que las variables están obligadas a cumplir.

Resolver: Encontrar valor de las variables que optimiza la función objetivo y
satisface todas las restricciones.El número de variables de una solución básica
factible debe ser = m + m−1 ; donde m = N origenes, n = N destinos.

2.2.7. Descripción de investigación.

Los modelos matemáticos de optimización se encuentran entre los procedimientos de
análisis y diseño más poderosos y versátiles que posee la ingenieŕıa. La investigación
propuesta pretende desarrollar los principales aspectos de la formulación y resolución
de modelos determińısticos y metaheuŕısticos aplicados a los modelos de asignación de
transportes y mostrar como se aplicará ésta herramienta a los procesos de optimización
de redes.

El objeto de la investigación es doble. Por un lado deb́ıa servir al diseñador al pro-
porcionarle una herramienta que le permita definir y calcular una red de transporte,
ahorrándole tiempo en los cálculos, el programa hace todos los cálculos repetitivos e
iterativos, y dejándole de esa manera las manos libres para probar diferentes opciones
de grafos y encontrar la mejor solución posible al problema. Por otro lado, el programa
deb́ıa facilitar la producción de los documentos gráficos, dibujos, tablas y gráficos que
sustentan y describen el diseño. También, conocer la experiencia de los usuarios será

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2.3. Estado del Arte.

vital para completar, ampliar y mejorar el modelo de asignación; pues, en un proceso
de retro-alimentación entre quienes desarrollan los modelos y quienes los usan. Para el
desarrollo futuro de nuevas aplicaciones se requiere de un trabajo en equipo en el que
interactúan la parte teórica y académica acerca de la materia que cubra la aplicación,
la experiencia en diseño y solución de problemas prácticos, la parte de investigación
asociada al problema y la experiencia en sacar adelante los proyectos, aparte de las
labores de diseño del soporte lógico y de programación propiamente dichos.

2.2.8. Métodos.

2.2.8.1. Métodos de resolución: 1. Matemáticos-Exactos.

Teóricamente deben proporcionar la solución óptima deseada

El coste (económico, de tiempo) puede ser alto

Adecuados para problemas “pequeños” o de complejidad algoŕıtmica polinomial

Requieren un modelado restrictivo

2.2.8.2. Métodos de resolución: 2. Iterativos de aproximación.

Proporcionan soluciones relativamente buenas

El tiempo de ejecución es bajo en comparación con el tamaño del problema

Permiten bastante flexibilidad en el modelado.

No garantizan la solución óptima.

Adecuados para problemas “grandes” y de complejidad no polinomial: optimiza-
ción combinatoria

Existen dos grupos:

• Metaheuŕısticos: Métodos heuŕısticos generales con parámetros ajustables:
Búsqueda tabú, algoritmos genéticos, temple simulado, colonia de hormigas.

• Métodos espećıficos para problemas complejos concretos.

(Ferrer Caja, s.f., págs. 8-9)

2.3. Estado del Arte.

De acuerdo al estado del arte de la Ingenieŕıa de Transportes, vinculada a los modelos
de transporte, se pueden formular problemas de optimización en términos de:

Problemas de Transporte.
Minimizar el coste total de transporte de un producto desde unos oŕıgenes a unos
destinos, satisfaciendo la demanda de cada destino sin superar la oferta disponible en
cada origen.
Se supone todos los oŕıgenes conectados con todos los destinos.

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2.4. Modelos y modelado.

¿Cómo satisfacer la demanda sin superar la oferta con mı́nimo coste?
Problemas de Transbordo.
Llevar un producto desde oŕıgenes a destinos con puntos intermedios en una red de N
nodos con mı́nimo costo.
Problemas de Asignación. Minimizar el coste total de realizar las tareas sujeto a:
cada tarea debe ser hecha por una sola persona, cada persona debe realizar una única
tarea.
Asignar la realización de N tareas a N personas (máquinas, etc.).

Problemas del viajante (TSP).
Hacer un recorrido que pase por N ciudades sin repetir ninguna y volviendo a la ciu-
dad de partida de manera que la distancia (costo) total sea mı́nima. Uno de los más
importantes en programación matemática.

2.4. Modelos y modelado.

2.4.1. Modelo.

Un modelo es la representación simplificada de la realidad que permite explorar, bajo
un variado número de condiciones, un rango de posibles respuestas del sistema, sin
tener que construirlo o alterarlo. Rincón Abril (2001)
Un modelo es una herramienta que nos sirve para lograr una visión bien estructurada
de la realidad. Aśı, el propósito del modelo es proporcionar un medio para analizar el
comportamiento de las componentes de un sistema con el fin de optimizar su desem-
peño. http://www.gestiondeoperaciones.net/programacion lineal (2015)
La ventaja que tiene el sacar un modelo que represente una situación real, es que nos
permite analizar tal situación sin interferir en la operación que se realiza, ya que el
modelo es como si fuera un reflejo de lo que ocurre.Wong Aitken (2010)

Es una representación de la realidad que ayuda a entender su composición y/o
funcionamiento.

Es una construcción intelectual y descriptiva de una entidad en la que un obser-
vador tiene interés.

Se construye para transmitirse.

Se emplean supuestos simples para restringirse a lo que se considera relevante y
evitar lo que no.

Un modelo es un sistema desarrollado para entender la realidad y, en consecuen-
cia, para modificarla.

No es posible modificar la realidad, en cierta dirección, si no se dispone de un
modelo que la interprete.

El modelo es un esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema
o de una realidad compleja, que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio
estudio de su comportamiento. 3.

3Diccionario de la Lengua Española, Real Academia Española.

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2.4. Modelos y modelado.

En la mayoŕıa de las aplicaciones de Investigación de Operaciones, el objetivo y las
limitaciones del modelo se pueden expresar como funciones matemáticas de las variables
de decisión; por lo tanto se trata de modelos matemáticos.(Rincón Abril, 2001, pág.
15)

2.4.2. Tipos de Modelos de simulación

Cuantitativos y cualitativos

Estándares y hechos a la medida

Descriptivos y de optimización

Estáticos y dinámicos

De simulación y no simulación

Estocásticos y determińısticos

1. Cuantitativos y cualitativos.-La mayor parte de los problemas de un negocio u
organización comienzan con un análisis y definición de un modelo cualitativo y
se avanza gradualmente hasta obtener un modelo cuantitativo.La investigación
de operaciones se ocupa de la sistematización de los modelos cualitativos y de su
desarrollo hasta el punto en que pueden cuantificarse. Cuando es posible construir
un modelos matemático insertando śımbolos para representar relaciones entre
constantes y variables estamos ante un modelo cuantitativo. Una ecuación es un
modelo de este tipo. Las formulas, las matrices, los diagramas o series de valores
que se obtienen mediante procesos matemáticos.

2. Estándares y Hechos a la medida.- Se llaman modelos estándar a los que solo
hay que insertar o sustituir diferentes valores con el fin de obtener un valor a una
respuesta de un sistema y son aplicables al mismo tipo de problemas en negocios
afines.Ejemplo:

El cálculo de costos o gastos.

El calculo de las ganancias, etc.

Se llaman modelos hechos a la medida cuando se crean modelos para resolver un
caso de problema en especifico que se ajusta únicamente a este problema.

3. Descriptivos y de optimización.- Cuando un modelo constituye sencillamente una
descripción matemática de una condición real del sistema se llama descriptivo.
Algunos de estos modelos se emplean para mostrar geográficamente una situación
y ayudan al observador a evaluar resultados por secciones una sobre otra. Puede
obtenerse una solución, sin embargo, en este modelo solo se intenta describir la
situación y no escoger una alternativa. Cuando con la aplicación del modelo se
llega a una solución optima de acuerdo con los criterios de entrada, se trata de
un modelo de optimización.

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2.4. Modelos y modelado.

4. Estáticos y dinámicos.- Los modelos estáticos se ocupan de determinar una res-
puesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cam-
biaran significativamente a corto plazo es decir, la solución esta basada en una
condición estática. Un modelo dinámico por el contrario esta sujeto al factor
tiempo que desempeña un papel esencial en la secuencia de las decisiones, inde-
pendientemente de cuales hayan sido las decisiones anteriores. A la programación
dinámica pertenecen estos modelos.

5. De simulación y no simulación.- Con el uso de la computadora es fácil preparar
un modelo simulado paso por paso donde se puede reproducir el funcionamiento
de sistemas o problemas de gran escala. En un modelo de simulación los datos
de entrada pueden ser reales o generados en forma aleatoria. Los modelos que no
se prestan para usar datos emṕıricos o simulados en forma aleatoria son modelos
no simulados como los de optimización o los creados a la medida.

6. Estocásticos y determińısticos.-Los modelos que se basan en las probabilida-
des y estad́ısticas y que se ocupan de incertidumbres futuras se llaman pro-
babiĺısticas o estocásticos y los modelos que no tienen consideraciones pro-
babiĺısticas se llaman deterministicos el PERT, los inventarios, la programa-
ción lineal, enfocan su atención en aquellas circunstancias que son criticas y
en los que las cantidades son determinadas y exactas. En el presente traba-
jo usaremos modelos matemáticos de transporte de naturaleza determińıstica.
https://es.wikipedia.org/wiki/Investigación de operaciones (2017)

Modelos de Simulación DE IO

DETERMINÍSTICOS ESTOCÁSTICOS
Programación lineal Cadenas de Markov

Programación dinámica Método de Montecarlo
Transportación Teoŕıa de colas

Asignación Teoŕıa de inventarios
Modelo de redes Simulación

Programación no lineal

Cuadro 2.1: Técnicas de Investigación Operativa

2.4.3. Construcción de un modelo matemático de simulación

Para la construcción de un modelo matemático debemos tener principalmente tres cosas
básicas en las cuales debemos pensar, estos son:

2.4.3.1. Variables y parámetros de decisisión.

Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse
resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que relacionan las
variables de decisión con las restricciones y función objetivo.

Las variables tienen que cumplir con las exigencias de ser consistentes y estar concate-
nadas en las subhipótesis que las cruzan. Una variable como conjunto puede definirse
por extensión o por comprensión. Para una definición por extensión, tenemos:

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2.4. Modelos y modelado.

2.4.3.2. Variables.

Una variable es un factor, evento, situación o fenómeno que representa cierto interés
dentro de la investigación y del cual se precisa conocer su intensidad o categoŕıa. Se
denomina variable a las caracteŕısticas, rasgos o propiedades de los elementos de la
muestra o universo en estudio porque el factor estudiado puede obtener distintos valores
(vaŕıa entre una observación y otra). Se utilizará la clasificación por la relación causal
que existe entre ellas; y en la investigación las variables pueden ser clasificadas como:

Variables independientes

Variables dependientes

Variables independientes.- Son las variables de decisión; los valores de estas
variables se pueden alterar, cada vez que estos suceden se afecta el comportamiento
del sistema. Estas variables se pueden cuantificar y cambiar durante el experi-
mento en base a criterios técnicos. Ejemplo: Asignar a un determinado número
de operadores a la ĺınea de producción, agregar un turno adicional de trabajo. En
nuestro caso tenemos como variables de decsión la longitud de recorrido, el tiempo
de viaje, el volumen a transportar, el jornal, las horas máquina, capacidad de carga, etc.

Variables dependientes.- Son las variable de respuesta; es decir, estas no pueden
ser alteradas: También llamadas variables de performance, pues miden el desempeño
del sistema en respuesta a alguna variable de decisión es decir son las que resultan
del procesamiento de las variables independientes Ejemplo: El tiempo promedio que
una entidad permanece en cola, el número de entidades procesadas en un periodo
dado, la utilización de un recurso, el costo de transporte/m3, etc. El objetivo en la
construcción del modelo matemático es encontrar la configuración o los valores idóneos
de las variables de decisión que den los valores deseados de respuesta.

2.4.3.3. Restricciones.

Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del medio, el
modelo debe incluir restricciones (impĺıcitas o expĺıcitas) que restrinjan las variables
de decisión a un rango de valores factibles

2.4.3.4. Función Objetivo.

La función objetivo define la medida de efectividad del medio como una fun-
ción matemática de las variables de decisión. La solución óptima será aque-
lla que produzca el mejor valor de la función objetivo cumpliendo con las res-
tricciones. http://investigacionoperaciones541.blogspot.pe/2011/04/metodologia-de-la-
investigacion-de.html (2011)

2.4.4. Modelado.

Los procesos y sistemas en ingenieŕıa son generalmente complicados y deben ser
simplificados por idealizaciones y aproximaciones para resolver el problema planteado.
El proceso de simplificación del problema, para que pueda ser representado en
términos de un sistema de ecuaciones (para el análisis, diseño y optimización) o a

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2.4. Modelos y modelado.

través de un arreglo f́ısico (para experimentación), es lo que se conoce como mode-
lado. https://cristiancastrop.files.wordpress.com/2010/09/aplicaciones programacion
lineal.pdf (2010).
En la sección 2.4.2 se describió los diferentes tipos de modelos de simulación caracte-
rizadas por que no son mutuamente excluyentes.

Figura 2.2: Tipos de modelo de simulación.

Simulación. Métodos y Aplicación. D. Ŕıos, S. Ŕıos y J. Mart́ın. 2000

2.4.5. Simulación.

Winston (2005) define de la siguiente manera:
“La simulación se podŕıa definir como una técnica que imita la operación de un sistema
del mundo real a medida que evoluciona con el tiempo. Esto normalmente se hace
desarrollando un modelo de simulación. Un modelo de simulación, por lo general, toma
la forma de un conjunto de suposiciones cera de la operación del sistema, expresado
como relaciones matemáticas o lógicas entre los objetos de interés en el sistema. El
proceso de simulación tiene que ver con ejecutar el modelo a través del tiempo.”

2.4.5.1. Etapas de la simulación

Según Banks (1998), el desarrollo de un modelo de simulación sigue la siguiente meto-
doloǵıa:

1. Formulación del problema: Toda simulación comienza con el enunciado de un
problema. Si este enunciado es dado por quienes tienen el problema (Cliente), es
indispensable tener un claro entendimiento de este. Por otro lado si es problema
es preparado por los investigadores es importante que el cliente entienda y este de
acuerdo con la formulación de este mismo. Igualmente todos los supuestos deben
ser preparados, analizados y acordados con el cliente. Aunque se tengan todas
estas precauciones es posible que el problema necesite ser reformulada a lo largo
del proceso de simulación.

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2.4. Modelos y modelado.

Figura 2.3: Etapas de la simulación.

Fuente: Elaboración propia

2. Establecimiento de objetivos y el plan general del proyecto: Los obje-
tivos indican las preguntas que deben ser respondidas a través del estudio de la
simulación. El plan general de proyecto debe incluir el establecimiento de varios
escenarios que deben ser investigados. Este plan debe indicar el tiempo requerido,
personal que será utilizado, requerimientos de hardware y software si el cliente
desea correr el modelo y analizar su comportamiento, etapas de la investigación,
resultados de cada etapa y costos de investigación.

3. Conceptualización del modelo: El sistema real que está bajo investigación y
análisis debe ser llevado a un modelo conceptual, una serie de relaciones lógicas y
matemáticas que representan los diferentes componentes y estructura del sistema,
Es recomendable que para el desarrollo de este modelo se empiece haciéndolo lo
más sencillo posible y que a partir de este se incluya cada uno de los diferentes
aspectos hasta tener un modelo con la complejidad adecuada. No es necesario
realizar el modelo lo más complejo posible, ya que esto incrementa los costos de
la investigación y el tiempo necesario sin agregar ningún valor ni diferencia a los
resultados obtenidos. En esta etapa debe estar muy involucrado el cliente ya que
esto aumentará la calidad del modelo resultante incrementando la confianza y
satisfacción del cliente.

4. Recolección de datos: Cuando el plan del proyecto es aceptado, se debe enviar
una programación con los requerimientos de datos necesarios al cliente. En el
mejor de los casos el cliente ha recolectado la información en formato digital para
comenzar el análisis. En este caso es importante aclarar que los datos necesarios
son individuales y no resúmenes ni promedios de estos. Según el esquema es
posible que la recolección de datos y conceptualización del modelo se puedan
estar realizando en paralelo.

5. Traducción del modelo: El modelo anteriormente descrito en el paso anterior
debe ser codificado en un formato que sea reconocido por el software de modela-
ción utilizado.

6. Verificación: En esta etapa se evalúa si el modelo está funcionando apropiada-

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2.5. Métodos de Investigación Operativa.

mente. La verificación es un proceso continuo a lo largo de todo el proceso de
simulación. Es necesario esperar hasta que el modelo este totalmente terminado
para poder comenzar la verificación. Este proceso es uno de los principales para
la confiabilidad de los resultados y el éxito del proyecto.

7. Validación: La validación es un proceso en el cual se evalúa si el modelo con-
ceptual es una acertada aproximación del sistema real analizado. La pregunta
principal en esta etapa es si el modelo realizado puede ser utilizado para el aná-
lisis del sistema real. Para poder responder a la anterior pregunta es necesario
comparar los resultados del modelo con los resultados reales del sistema real.

8. Diseño de experimentos: Para cada escenario que se vaya a simular, se deben
tomar decisiones como el tiempo de simulación, el número de corridas o réplicas
y las maneras de iniciar el modelo.

9. Realizar corridas y análisis: Las diferentes corridas y su posterior análisis
son utilizados para estimar medidas de desempeño de los diferentes escenarios
que han sido simulados. Según estos resultados se debe tomar decisión si son
necesarias más corridas para aumentar el nivel de confianza de los resultados.

10. Documentación y reporte: En esta etapa se deben reunir todos los diferentes
análisis y resultados obtenidos en todo el proyecto de simulación para ser pre-
sentados a los clientes de este proyecto y las diferentes partes interesadas. Aśı
mismo se debe indicar claramente, si se requiere, las recomendaciones o planes de
implementación de los diferentes escenarios solución al problema que resultaron
más eficientes y eficaces según el proyecto. Banks (1998)

2.5. Métodos de Investigación Operativa.

2.5.1. Tipos de modelo de Investigación de Operaciones.

Primero va la fase de construcción del modelo, seguida de la solución de dicho modelo
para asegurar la obtención de una solución deseada. Los métodos de solución suelen
aprovechar las estructuras especiales de los modelos resultantes; aśı, la amplia variedad
de modelos asociados con sistemas reales existentes da origen a un número corres-
pondiente de técnicas de solución. De aqúı que se utilicen los nombres conocidos de
programación lineal, programación dinámica, programación no lineal que representan
algoritmos para resolver clases especiales de modelos.

1. Modelos matemáticos.- En la mayoŕıa de las aplicaciones de IO, se supone que
la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma
cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión. Por un
lado un sistema real puede tener demasiadas variables para hacer posible una