"Representación canónica de Weierstrass para superficies mínimas"

Abstract

En este trabajo, representaremos a las superficies mínimas usando la denominada representación canónica de Weierstrass, el cual consiste en la obtención de fórmulas que representarán a superficies mínimas, y estas se obtienen a partir de una relación entre las inmersiones mínimas y la representación de Weierstrass. Esta forma de representar a las superficies mínimas es útil, pues permite expresar las principales características de una superficie mínima en términos de las funciones de la representación canónica de Weierstrass, como por ejemplo la curvatura Gaussiana. Este trabajo fue dividido en capítulos de la siguiente forma: En el capítulo 1, introduciremos algunas definiciones y resultados que serán usadas a lo largo de este trabajo, como algunos conceptos relativos a la geometría diferencial de superficies enfocándonos en la primera y segunda forma fundamental, definiendo también una superficie mínima, culminando con algunos resultados de las funciones de una variable compleja. En el capítulo 2, estudiaremos las superficies mínimas, algunas de sus propiedades y nos enfocaremos en el estudio de la conexión de la superficie mínima y la variable compleja y el último resultado que enunciaremos y probaremos es el teorema principal de este trabajo "la representación canónica de Weierstrass para superficies mínimas". En el capítulo 3, daremos como aplicación algunos ejemplos como calcular la curvatura Gaussiana en función de las dos funciones que intervienen en la representación canónica de Weierstrass y de como construir superficies mínimas a partir de "la representación canónica de Weierstrass para superficies mínimas". Al final daremos algunas conclusiones acerca del teorema de "la representación canónica de weierstrass para superficies mínimas". Las figuras presentes en este trabajo fueron hechas utilizando el programa Inkscape.